因式分解的方法有哪些?求因式分解的方法与技巧

我对因式分解公式不是很熟悉,谁知道因式分解的方法有几种?

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2 个回答
净净心灵

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个因式分解(也叫作分解因式)。它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。

谁说为帝后无情

一般来说,因式分解的方法有十二种 :

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下:

1、提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、 分解因式x³-2x²-x (2003淮安市中考题)

x³ -2x² -x=x(x² -2x -1)

2、应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a² + 4ab + 4b² (2003南通市中考题)

解:a ² + 4ab +4b² =(a+2b)²

3、分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a ,把它后两项分成一组,并提出公因式b ,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m ² + 5n - mn - 5m

解:m ² + 5n - mn - 5m= m² - 5m - mn + 5n

= (m² -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、十字相乘法

对于mx ² +px+q形式的多项式,如果a ×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x ² -19x-6

分析: 1 - 3

7 2

2 - 21=-19

解:7x ² -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。

例5、分解因式x ² +3x-40

33解 x ² +3x - 40=x ² + 3x + ( 2) ² - ( 2 ) ² -40

313=(x + 2 ) ² - ( 2 ) ²

313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )

=(x+8)(x-5)

[1**********]注:( ) ² + ==( ) ²=( ) ² 244422

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c – a + a +b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。

例7、分解因式2x4 -x³ -6x ² -x+2

解:2x4 -x³ -6x ² -x+2=2(x4 +1)-x(x² +1)-6x²

11=x² [2(x² + x²)-(x+ x )-6 ]

1令y = x + x ,

11则x ²[2(x² + x² )-(x+ x )-6 ]

= x² [2(y² -2)-y-6]

= x² (2y² -y-10)

=x² (y+2)(2y-5)

11=x² (x+ x +2)(2x+ x -5)

= (x² +2x+1) (2x² -5x+2)

=(x+1)2(2x-1)(x-2)

121注:y² =(x+ x ) = x² + x² +2

8、求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x 1 ,x2 ,x3 ,„„x n ,则多项式可因式分解为

f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )„„(x-xn )

例8、分解因式2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6

解:令f(x)= 2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0

通过综合除法可知,f(x)=0根为 2 ,-3,-2,1

则2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

注:2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6

=2x4 +7x3 -2x2 -7x-6x +6

=2x4 -2x2 +7x3-7x-6x +6

=2x2 (x2 – 1) + 7x (x2 – 1) – 6 (x -1)

=2x2 (x +1) (x -1) + 7x (x +1) (x -1) – 6 (x -1)

=(x - 1) [2x2 (x +1) + 7x (x +1) – 6 ]

=(x - 1) (2x3 +2x2 + 7x 2 +7x – 6 )

=(x - 1) (2x3 +9x2 +7x – 6 )

=(x - 1) (2x3 +6x2+3x2 +9x -2x – 6 )

=(x - 1)[ 2x2 (x +3) +3x(x + 3) -2(x + 3 )

=(x - 1) (x +3) ( 2x2 +3x -2 )

=(x - 1) (x +3) ( 2x -1)(x + 2 )

所以四根分别是:1;-3;2;-2。

9、图象法

令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X 轴的交点x 1 ,x 2 ,x 3 , „„x n ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )„„(x-xn )

例9、因式分解x 3 +2x2 -5x-6

解:令y= x3 +2x2 -5x-6

作出其图象,见右图,与x 轴交点为-3,-1,2

则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

注:x 3 +2x2 -5x-6

= x3 +x2+x2 +x-6x -6

= x2(x +1)+ x(x+1)- 6(x +1)

= (x +1)(x 2+ x- 6)

= (x +1)(x +3)(x -2)

10、 主元法

先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。

例10、分解因式a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b)

分析:此题可选定a 为主元,将其按次数从高到低排列

解:a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b)

=a2 (b-c)-a(b2 –c 2 )+(b2 c-c2 b)

=a2 (b-c)-a(b-c) (b+c)+bc (b-c)

=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c) „„(十字相乘)

11、 利用特殊值法

将2或10代入x ,求出数P ,将数P 分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x ,即得因式分解式。

例11、分解因式x 3 +9x2 +23x+15

解:令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值。(即:3=2+1,5=2+3,7=2+5)

则x 3 +9x2 +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。

例12、分解因式x 4 –x 3 -5x2 -6x-4

分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 解:设x 4 –x 3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)

= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd

则x 4 –x 3 -5x2 -6x-4 =(x2 +x+1)(x2 -2x-4)

关于“易知这个多项式没有一次因式”,本人理解为最高次方的系数为1。或者设x 4 –x 3 -5x2 -6x-4=(x+a)(x3 + bx2 +cx+d)